クラスに同じ誕生日の人がいる確率は？23人で50%超えの驚きの数学
「クラスに同じ誕生日の人がいたことある？」「40人クラスだと意外といるよね」
学校や職場で、こんな会話をしたことはありませんか？
この記事では、同じ誕生日の人がいる確率を具体的な数字で解説します。
【結論】
同じ誕生日の人がいる確率は、 23人で約50% 、 40人で約90% 、 57人で約99% です。365日もあるのに、たった23人で50%を超えるのは直感に反しますよね。これが「 誕生日のパラドックス 」と呼ばれる有名な確率問題です。ただし「 自分と 同じ誕生日の人がいる確率」は別問題で、50%超えには 253人 が必要です。
目次
誕生日のパラドックスとは？【23人で50%の理由】
「パラドックス」の意味
誕生日のパラドックスとは、「何人集まれば、同じ誕生日の人がいる確率が50%を超えるか？」という問題です。
答えはたった23人。365日もあるのに、わずか23人で50%を超えることに多くの人が驚きます。
「パラドックス」といっても論理的な矛盾ではありません。結果が直感に反しているという意味でのパラドックスです。
なぜ23人で50%になるのか
ポイントは「誰と誰が同じでもOK」ということ。
23人の中からペアを作る組み合わせは、23 × 22 ÷ 2 = 253通りあります。
1つのペアが同じ誕生日になる確率は低くても、253通りもチェックすれば、どれか1組が一致する確率はかなり高くなるのです。
人数別・同じ誕生日がいる確率【一覧表】
クラスの人数ごとに、同じ誕生日の人がいる確率を見てみましょう。
| 人数 | 確率 | ペア数 | 備考 |
|---|---|---|---|
| 5人 | 2.7% | 10通り | ほぼいない |
| 10人 | 11.7% | 45通り | まだ低い |
| 15人 | 25.3% | 105通り | 4人に1人 |
| 20人 | 41.1% | 190通り | 4割超え |
| 23人 | 50.7% | 253通り | 50%突破 |
| 30人 | 70.6% | 435通り | 7割超え |
| 40人 | 89.1% | 780通り | 9割近い |
| 50人 | 97.0% | 1,225通り | ほぼ確実 |
| 57人 | 99.0% | 1,596通り | 99%到達 |
| 70人 | 99.9% | 2,415通り | ほぼ100% |
人数別・同じ誕生日の人がいる確率
40人クラスなら 約89% の確率で同じ誕生日の人がいます。思い返せば、学校のクラスに同じ誕生日の人がいた経験がある人は多いのではないでしょうか。
計算式を解説【数学的な証明】
「いない確率」から求める
同じ誕生日の人が「いる」確率を直接計算するのは難しいため、「全員が異なる誕生日である確率」を計算し、1から引きます。
P(同じ誕生日がいる) = 1 - P(全員異なる誕生日)具体的な計算
n人が全員異なる誕生日である確率は次のように計算します。
- 1人目: 365日のどれでもOK → 365/365
- 2人目: 1人目以外の364日 → 364/365
- 3人目: 1・2人目以外の363日 → 363/365
- …
- n人目: (365-n+1)/365
これを全部かけ合わせると：
P(全員異なる) = (365/365) × (364/365) × (363/365) × ... × ((365-n+1)/365)23人の場合
23人で計算すると：
P(全員異なる) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × ... × 343/365
= 0.4927...したがって：
P(同じ誕生日がいる) = 1 - 0.4927 = 0.5073（約50.7%）「自分と同じ誕生日」との違いに注意
よくある勘違い
「23人で50%」と聞くと、「自分と同じ誕生日の人がいる確率が50%」と勘違いする人がいます。これは全くの別問題です。
| 問題 | 23人での確率 | 50%超えに必要な人数 |
|---|---|---|
| 誰かと誰かが同じ誕生日 | 50.7% | 23人 |
| 自分と同じ誕生日の人がいる | 約6% | 253人 |
「誰かと誰か」と「自分と誰か」の違い
「自分と同じ誕生日」の場合、50%を超えるには253人が必要です。
なぜこんなに差があるのか
- 誰かと誰か: 23人から253通りのペアを作れる（組み合わせ爆発）
- 自分と誰か: 自分と他の22人を比較するだけ（22通りのみ）
チェックするペアの数が圧倒的に違うため、必要人数に10倍以上の差が出るのです。
日常生活での応用例
サッカーの試合
サッカーの試合には、選手22人＋審判3〜4人で約25人が参加します。誕生日のパラドックスによれば、同じ誕生日の人がいる確率は約57%。過半数の試合で誕生日が一致するペアがいる計算です。
ワールドカップでの検証
実際に2014年FIFAワールドカップの全32チーム（各23人）を調べたところ、 16チーム（半数） で同じ誕生日の選手がいたという報告があります。理論値とほぼ一致する結果です。
セキュリティ分野：誕生日攻撃
情報セキュリティの分野では「誕生日攻撃（Birthday Attack）」という手法があります。
暗号のハッシュ関数を破る際、誕生日のパラドックスを応用すると、総当たり攻撃よりも効率的に「衝突（同じハッシュ値を持つ別のデータ）」を見つけられます。
この原理を踏まえて、現代の暗号システムはハッシュ値の長さを十分に確保しています。
誕生日のパラドックスに関するよくある質問
よくある質問
Q1. 366人いれば100%になる？
はい。365日（うるう年を無視）しかないため、366人いれば「鳩の巣原理」により必ず同じ誕生日のペアが存在します。うるう年の2月29日を考慮すると、367人で100%になります。
Q2. うるう年の2月29日を考慮するとどうなる？
厳密には366日で計算しますが、2月29日生まれの人は約0.07%と非常に少ないため、実用上は365日計算でほぼ正確です。366日で計算しても、23人で50%を超える結果は変わりません。
Q3. 誕生日が偏っていたらどうなる？
実際の誕生日は完全にランダムではなく、9月生まれが多いなど偏りがあります。偏りがあると、同じ誕生日の人がいる確率はさらに高くなります。つまり、23人で50%はむしろ控えめな数字といえます。
まとめ：誕生日のパラドックスの確率
同じ誕生日の人がいる確率は、直感よりもはるかに高いです。宝くじの期待値やガチャの確率と同様、確率は直感を裏切ることが多いのです。
- 23人で約50%（クラスの半分以下でも過半数の確率）
- 40人で約90%（一般的なクラス規模でほぼ確実）
- 57人で約99%（ほぼ間違いなくいる）
- 「自分と同じ誕生日」は別問題（50%超えに253人必要）
次にクラス会や会社の飲み会があったら、「同じ誕生日の人いる？」と聞いてみてください。人数が30人を超えていれば、7割以上の確率でいるはずです。